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개념 난이도 / 선택지 난이도 / 최종 난이도

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정답은 4번입니다.

데이터에 일정한 값을 더하거나 곱하는 선형변환을 적용하면 대표값(평균, 중앙값 등)과 산포도(표준편차, 분산 등), 그리고 분포의 모양을 나타내는 통계량(왜도, 첨도 등)은 각각 서로 다른 방식으로 변화합니다. 특히 분포의 비대칭성을 나타내는 왜도는 데이터의 위치나 단위 크기에 영향을 받지 않는 표준화된 지표이기 때문에, 양수의 값을 곱하고 더하는 선형변환 환경에서는 그 값이 변하지 않는 독특한 특징을 가집니다. 각 통계량이 선형변환 시 어떻게 반응하는지 그 원리를 파악하는 것이 정답을 찾는 기준이 됩니다.

1. 평균
: 평균은 데이터의 중심 위치를 나타내는 대표값으로, 모든 데이터에 동일한 연산을 적용하면 평균 역시 동일한 선형변환 규칙을 그대로 따릅니다. 즉, 변환 전의 평균에 a를 곱하고 b를 더한 값이 새로운 평균이 되므로 선형변환에 따라 값이 변하게 됩니다.

2. 중앙값
: 중앙값은 데이터를 크기 순서대로 나열했을 때 가운데 위치하는 값으로, 평균과 마찬가지로 데이터의 위치를 나타내는 지표입니다. a > 0인 조건에서는 데이터의 크기 순서가 뒤바뀌지 않으므로, 기존의 중앙값에 a를 곱하고 b를 더한 위치가 새로운 중앙값이 되어 그 결과가 변합니다.

3. 표준편차
: 표준편차는 데이터가 평균으로부터 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 산포도 지표입니다. 모든 데이터에 동일한 값 b를 더하는 것은 데이터 전체를 평행이동시키는 것이므로 흩어진 정도에는 영향을 주지 않지만, a배만큼 크기를 키우면 데이터 사이의 간격도 a배로 늘어나게 됩니다. 따라서 새로운 표준편차는 기존 표준편차에 a를 곱한 값(단, a > 0)이 되므로 통계량의 크기가 변경됩니다.

4. 왜도
: 왜도는 데이터 분포의 비대칭성을 나타내는 지표로, 3차 적률을 표준편차의 세제곱으로 나누어 구하는 표준화된 값입니다. 선형변환 시 a > 0인 경우 분포의 좌우 방향이나 비대칭적 구조 자체가 바뀌지 않으며, 표준화 과정에서 분자와 분모의 변환 단위가 서로 상쇄됩니다. 결과적으로 모양의 기울어진 정도를 의미하는 왜도의 수치는 선형변환 후에도 그대로 유지됩니다.

데이터 y가 x의 선형변환인 y = ax + b로 주어졌을 때, 각 통계량의 변화 원리는 다음과 같이 요약할 수 있습니다. 평균과 중앙값 같은 위치 통계량은 ax + b 형태의 영향을 모두 받으며, 표준편차와 같은 산포 통계량은 더해지는 값 b에는 영향을 받지 않고 곱해지는 값 a의 크기 비율만큼 변하게 됩니다. 반면에 왜도는 분포의 상대적인 모양과 비대칭성을 측정하는 지표이므로, 데이터의 축척이나 위치가 변하더라도 모양 자체가 왜곡되지 않는 한(즉, a > 0인 한) 변환 전후의 통계량이 동일하게 유지되는 특성을 가집니다. 따라서 선형변환 시 변하지 않는 통계량은 왜도입니다.

따라서 정답은 '4. 왜도' 입니다.

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