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개념 난이도 / 선택지 난이도 / 최종 난이도

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정답은 2번입니다.

확률변수 X의 확률분포는 각 값이 가질 확률을 나타내며, 이 확률들의 합은 항상 1이 되어야 합니다. 또한, 확률은 0 이상 1 이하의 값을 가집니다. 기댓값 E(X)는 확률변수 X가 가질 수 있는 값과 그 확률을 곱한 후 모두 더한 값으로 계산합니다. 이를 바탕으로 각 선지의 내용을 검토할 수 있습니다.

1. 확률변수 X가 1, 2, 3 중 하나의 값을 가질 확률의 합은 1보다 작다.
: 확률분포표에서 확률의 합을 계산하면 다음과 같습니다. \$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6} + \\frac{1}{2} = \\frac{2}{6} + \\frac{1}{6} + \\frac{3}{6} = \\frac{6}{6} = 1\$ 모든 가능한 확률의 합은 정확히 1입니다. 따라서 1보다 작다는 설명은 옳지 않습니다.

2. 확률변수 X의 기댓값 E(X)는 13/6이다.
: 기댓값의 정의에 따라 계산하면 다음과 같습니다. \$E(X) = \\sum x_i P(x_i) = \\left(1 \\times \\frac{1}{3}\\right) + \\left(2 \\times \\frac{1}{6}\\right) + \\left(3 \\times \\frac{1}{2}\\right)\$\$E(X) = \\frac{1}{3} + \\frac{2}{6} + \\frac{3}{2} = \\frac{2}{6} + \\frac{2}{6} + \\frac{9}{6} = \\frac{13}{6}\$계산 결과 기댓값은 정확히 13/6입니다. 따라서 이 설명은 옳습니다.

3. 확률 변수 X가 1 또는 2의 값을 가질 확률은 1/2보다 작다.
: X가 1 또는 2일 확률은 각 확률의 합입니다. \$P(X=1 \\cup X=2) = P(X=1) + P(X=2) = \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6} = \\frac{2}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\$확률은 정확히 1/2입니다. 1/2보다 작다는 설명은 옳지 않습니다.

4. 확률 변수 X가 3의 값을 가질 확률은 0보다 작다.
: 주어진 표에 따르면 \$P(X=3) = 1/2\$입니다. 확률은 항상 0 이상 1 이하의 값을 가지므로 0보다 작다는 설명은 확률의 기본 정의에 위배되며 틀린 설명입니다.

확률변수 X의 확률분포에서 각 확률의 합은 1이어야 하며, 확률은 0 이상입니다. 주어진 확률을 모두 더하면 1이 되고, 확률이 음수일 수 없음을 확인할 수 있습니다. 또한, 기댓값 E(X)는 각 값에 해당 확률을 곱하여 모두 더한 값으로 계산되는데, 이 문제에서는 \$E(X) = \\frac{13}{6}\$이므로 2번 선지가 옳습니다. 나머지 선지들은 확률의 기본 성질과 계산 결과에 어긋나므로 틀렸습니다.

따라서 정답은 '2. 확률변수 X의 기댓값 E(X)는 13/6이다.' 입니다.

2. 선택

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해설

확률변수 X가 가질 수 있는 값과 각 값에 대한 확률이 주어졌을 때, 확률의 기본 성질과 기댓값의 정의를 이용하여 각 보기가 옳은지 판단할 수 있습니다. 확률의 기본 조건은 모든 확률 값은 0 이상 1 이하이며, 모든 가능한 값에 대한 확률의 합은 1이라는 점입니다. 또한, 기댓값은 확률변수의 값에 각 확률을 곱한 후 모두 더한 값으로 계산됩니다. 이를 바탕으로 각 보기를 검토하면 정답을 알 수 있습니다.

1. 확률변수 X가 1, 2, 3 중 하나의 값을 가질 확률의 합은 1보다 작다.
확률변수 X가 1, 2, 3 중 하나의 값을 가질 확률의 합은 각 확률을 모두 더한 값입니다. 표에서 P(X=1) = 1/3, P(X=2) = 1/6, P(X=3) = 1/2이므로 합은 1/3 + 1/6 + 1/2 = 1입니다. 따라서 1번 보기는 '확률의 합이 1보다 작다'고 하였으나, 실제로는 정확히 1이므로 틀렸습니다.

2. 확률변수 X의 기댓값 E(X)는 13/6이다.
확률변수 X의 기댓값 E(X)는 각 값에 확률을 곱하여 모두 더한 값입니다. 계산하면 E(X) = 1*(1/3) + 2*(1/6) + 3*(1/2) = 1/3 + 2/6 + 3/2 = 1/3 + 1/3 + 3/2 = 2/3 + 3/2 = (4/6) + (9/6) = 13/6입니다. 따라서 2번 보기는 옳은 설명입니다.

3. 확률 변수 X가 1 또는 2의 값을 가질 확률은 1/2보다 작다.
확률변수 X가 1 또는 2의 값을 가질 확률은 P(X=1) + P(X=2) = 1/3 + 1/6 = 1/2입니다. 따라서 3번 보기는 '1/2보다 작다'고 하였으나 실제로는 정확히 1/2이므로 틀렸습니다.

4. 확률 변수 X가 3의 값을 가질 확률은 0보다 작다.
확률은 0보다 작을 수 없습니다. 확률변수 X가 3의 값을 가질 확률은 1/2로 0보다 크므로 4번 보기는 틀렸습니다.

확률변수 X의 확률은 모두 0 이상이며, 모든 확률의 합은 1입니다. 따라서 1번과 3번 보기는 확률의 합이나 부분합이 1보다 작거나 1/2보다 작다고 한 점에서 틀렸습니다. 4번 보기는 확률이 음수가 될 수 없으므로 틀렸습니다. 2번 보기는 기댓값을 정확히 계산한 것으로 옳은 설명입니다.

따라서 정답은 '2. 확률변수 X의 기댓값 E(X)는 13/6이다.' 입니다.

3. 선택

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해설

확률변수 X의 확률분포는 각 값이 가질 확률을 나타내며, 모든 확률의 합은 1이 되어야 합니다. 기댓값 E(X)는 확률변수의 가능한 값에 각각의 확률을 곱한 후 모두 더한 가중평균입니다. 확률은 0 이상 1 이하의 값을 가지며, 음수가 될 수 없습니다. 따라서 각 보기의 내용을 확률의 기본 성질과 기댓값 계산법을 통해 판단할 수 있습니다.

1. 확률변수 X가 1, 2, 3 중 하나의 값을 가질 확률의 합은 1보다 작다.
확률변수 X가 1, 2, 3 중 하나의 값을 가질 확률의 합은 $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = 1$$로 1보다 작지 않고 정확히 1입니다. 확률의 기본 성질에 따라 모든 가능한 값의 확률 합은 1이어야 하므로 이 선지는 틀렸습니다.

2. 확률변수 X의 기댓값 E(X)는 13/6이다.
기댓값 E(X)는 $$1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{6} + \frac{3}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$$로 주어진 값과 일치합니다. 따라서 이 선지는 옳습니다.

3. 확률 변수 X가 1 또는 2의 값을 가질 확률은 1/2보다 작다.
확률변수 X가 1 또는 2의 값을 가질 확률은 $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$로 1/2보다 작지 않고 정확히 1/2입니다. 따라서 이 선지는 틀렸습니다.

4. 확률 변수 X가 3의 값을 가질 확률은 0보다 작다.
확률은 0보다 작을 수 없으므로 확률변수 X가 3의 값을 가질 확률이 0보다 작다는 것은 불가능합니다. 실제로 3의 확률은 $$\frac{1}{2}$$로 0보다 큽니다. 따라서 이 선지는 틀렸습니다.

확률변수 X의 확률분포에서 각 확률의 합은 반드시 1이어야 하므로 1번과 3번 선지는 틀렸습니다. 또한 확률은 음수가 될 수 없으므로 4번 선지도 틀렸습니다. 기댓값은 확률변수 값과 그 확률의 가중평균으로 계산하며, 계산 결과가 13/6로 주어진 2번 선지가 옳습니다.

따라서 정답은 '2. 확률변수 X의 기댓값 E(X)는 13/6이다.' 입니다.

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