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상관계수는 두 변수 간의 선형 관계의 방향과 강도를 나타내는 통계량으로, -1부터 1 사이의 값을 가집니다. 상관계수는 변수에 대한 선형 변환에서 부호가 바뀌거나 양의 상수로 곱해지는 경우에 영향을 받지만, 상관계수의 절댓값은 변하지 않습니다. 구체적으로, 두 변수 X와 Y의 상관계수가 r일 때, X에 대해 $$aX + b$$, Y에 대해 $$cY + d$$ (단, a와 c는 0이 아닌 상수)로 선형 변환을 하면 변환된 변수들의 상관계수는 $$\text{sign}(a) \times \text{sign}(c) \times r$$가 됩니다. 여기서 $$\text{sign}(a)$$는 a의 부호를 의미합니다. 문제에서는 X를 $$4X - 1$$로, Y를 $$-2Y + 3$$으로 변환했으므로, X 변환 계수는 양수(4), Y 변환 계수는 음수(-2)입니다. 따라서 변환된 변수들의 상관계수는 원래 상관계수 -0.5에 부호 곱하기를 적용하면 $$4 > 0$$, $$-2 < 0$$이므로 부호 곱은 $$+1 \times (-1) = -1$$이 되어, 최종 상관계수는 $$-1 \times (-0.5) = 0.5$$가 됩니다. 즉, 부호가 반대가 되어 상관계수의 부호가 바뀌지만 절댓값은 유지됩니다.

1. -0.5
선지 1번은 변환 전 상관계수인 -0.5와 같다고 했는데, Y 변수에 음수 계수가 곱해졌기 때문에 상관계수의 부호가 바뀌어야 하므로 틀렸습니다.

2. 0.5
선지 2번은 변환된 변수들의 상관계수가 0.5라고 했습니다. X에 양수, Y에 음수가 곱해져 부호가 반대가 되면서 원래 상관계수 -0.5가 +0.5로 바뀌므로 정답입니다.

3. -1.0
선지 3번은 상관계수가 -1.0이라고 했는데, 원래 상관계수의 절댓값이 0.5이므로 1.0이 될 수 없으며, 또한 부호도 변해야 하므로 틀렸습니다.

4. 1.0
선지 4번은 상관계수가 1.0이라고 했는데, 원래 상관계수의 절댓값이 0.5이므로 1.0이 될 수 없으며, 부호도 변해야 하므로 틀렸습니다.

상관계수는 변수에 양의 상수를 곱해도 값이 변하지 않지만, 변수 중 하나에 음의 상수를 곱하면 상관계수의 부호가 반대로 바뀝니다. 문제에서 X는 4X - 1로 변환되어 양의 상수를 곱한 것이고, Y는 -2Y + 3으로 변환되어 음의 상수를 곱한 것이므로 상관계수의 부호가 반대가 됩니다. 따라서 원래 상관계수 -0.5는 +0.5로 바뀌어 정답은 2번입니다. 나머지 선지는 상관계수의 절댓값이나 부호 변화 규칙에 맞지 않아 오답입니다.

따라서 정답은 '2. 0.5' 입니다.

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상관계수는 두 변수 간의 선형 관계의 정도와 방향을 나타내는 통계량으로, -1에서 1 사이의 값을 가집니다. 두 변수에 대해 선형 변환을 하더라도 상관계수의 절대값은 변하지 않으며, 단지 변환에 포함된 상수의 부호에 따라 상관계수의 부호가 바뀔 수 있습니다. 구체적으로, 변수 X에 대해 $$X' = aX + b$$, 변수 Y에 대해 $$Y' = cY + d$$와 같은 선형 변환을 했을 때, 상관계수는 $$r_{X'Y'} = \text{sign}(a) \times \text{sign}(c) \times r_{XY}$$로 계산됩니다. 여기서 $$\text{sign}(a)$$와 $$\text{sign}(c)$$는 각각 a와 c의 부호를 의미합니다. 문제에서 X는 $$4X - 1$$로 변환되어 부호는 양수이고, Y는 $$-2Y + 3$$으로 변환되어 부호는 음수입니다. 따라서 변환 후 상관계수는 원래 상관계수에 부호가 하나 바뀌어 $$-1 \times (-0.5) = 0.5$$가 됩니다. 따라서 정답은 2번입니다.

1. -0.5
선지 1은 변환 후 상관계수가 -0.5라고 했는데, 이는 원래 상관계수와 부호가 변하지 않았다고 가정한 경우입니다. 하지만 Y 변수에 음수 계수가 곱해져 부호가 바뀌므로 상관계수의 부호도 바뀌어야 하므로 오답입니다.

2. 0.5
선지 2는 변환 후 상관계수가 0.5라고 하였는데, 이는 X 변환 계수는 양수, Y 변환 계수는 음수이므로 상관계수의 부호가 바뀌는 점을 올바르게 반영한 값입니다. 따라서 정답입니다.

3. -1.0
선지 3은 변환 후 상관계수가 -1.0이라고 하였는데, 이는 상관계수의 절대값이 1이 되어야 하는 상황이 아니므로 틀렸습니다. 상관계수의 절대값은 선형 변환 시 변하지 않지만, 원래 값이 -0.5이므로 1.0이 될 수 없습니다.

4. 1.0
선지 4는 변환 후 상관계수가 1.0이라고 하였는데, 이는 상관계수의 절대값이 1이 되어야 하는 상황이 아니므로 틀렸습니다. 원래 상관계수는 -0.5이므로 1.0이 될 수 없습니다.

상관계수는 두 변수에 대한 선형 변환 시 변환 계수의 부호에 따라 부호만 바뀔 뿐, 절대값은 변하지 않습니다. 문제에서 X는 양수 계수 4를 곱하고 Y는 음수 계수 -2를 곱했으므로 상관계수의 부호가 바뀌어 원래 -0.5에서 0.5가 됩니다. 따라서 정답은 2번입니다.

따라서 정답은 '2. 0.5' 입니다.

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